1. Задача.
Отрезки AB и CD равны по длине и не параллельны. Найти геометрическое место всех точек M таких, что площадь треугольника AMB равна площади треугольника CMD.
1. Решение.
Пусть O - точка пересечения прямых AB и CD. Обозначим через lпрямую, содержащую биссектрису угла AOC, а через m - прямую, перпендикулярную l и проходящую через точку O (т.е. l и m - прямые, содержащие биссектрисы вертикальных углов, образующихся при пересечении прямых (AB) и (СD)). Искомым геометрическим местом точек будет объединение прямых l и m без точки O. В самом деле, для любой точки M, лежащей на одной из биссектрисс, расстояние от нее до прямых (AB) и (CD) одинаково, следовательно, высоты треугольников AMB и CMD равны, а основания AB и CD равны по условию. Поэтому площади треугольников AMB и AMD равны. Для произвольной точки M, не лежащей ни на одной из биссектрисс площади треугольников AMB и CMDне равны, так как в этом случае у этих треугольников равные основания, но разные высоты. Точка O не принадлежит искомому геометрическому месту точек, так как если точка M совпадает с точкой O, то треугольники не образуются.
2. Задача.
В окружности проведена хорда; и через один из концов хорды проходит касательная к окружности. Вычислить угол, составленный касательной и хордой, если хорда делит окружность в отношении 5:7.
2. Решение.
Пусть O - центр данной окружности и AB - ее хорда. Обозначим через x1/5 угловой величины меньшей из дуг с концами в точках A и B. Тогда величина большей из дуг равна 7x, а так как объединение этих двух дуг есть полная окружность, 5x + 7x = 360°, откуда x = 30°. Следовательно, величина меньшего из углов AOB равна 150°, а тогда из рассмотрения равнобедренного треугольника ABO получаем, что угол BAO равен 15°. Касательная к окружности, проходящая через точку A, перпендикулярна радиусу OA и, следовательно, образует с хордой AB угол 75°.
2. Ответ: Ответ: 75°.
3. Задача.
Стороны данного треугольника имеют длины a = 7, b = 9, c = 15. Возможно ли составить треугольник, сторонами которого являются высоты данного треугольника?
3. Решение.
Пусть ha, hb, hc - высоты данного треугольника, проведенные к сторонам a, b, c соответственно. Тогда a·ha = b·hb = c·hc = 2SD, откуда
Таким образом, из трех отрезков ha,
hb, hc отрезок
ha - наибольший, кроме того
поэтому из отрезков ha,
hb, hc можно составить
треугольник.
4. Задача.
Площадь треугольника, один из углов которого равен разности двух других, равна площади квадрата, сторона которого совпадает с одной из сторон этого треугольника. Найти углы данного треугольника.
4. Решение.
Пусть a, b, g - углы данного треугольника и пусть a = b-g. Поскольку a+b+g = p, получаем g-b+b+g = p, откуда g = p/2, т.е. данный треугольник является прямоугольным.
5. Задача.
Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 6 и 8, а медиана, заключенная между ними, равна 5.
5. Решение.
Пусть M - середина стороны BC треугольника ABC и
|AB| = 6, |AC| = 8 и |AM| = 5. Достроим данный
треугольник до параллелограмма ABDC (см.рис.). Из
равенства треугольников AMC и BMD получаем
SABC = SABD. Треугольник
ABD прямоугольный, покольку 62+82 =
102. Отсюда искомая площадь равна 24. Ответ:
SABC = 24.
6. Задача (9 кл.)
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота CH. Из точки H опущены перпендикуляры HM и HN на стороны BC и AC соответственно. Доказать, что треугольники ABC и CNM подобны.
6. Решение.
Построим окружность на отрезке CH как на диаметре. Точки M и N окажутся лежащими на этой окружности как вершины прямых углов, опирающихся на диаметр. Тогда РACH = РHMN как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Поскольку DACH прямоугольный, имеем РHAC = 90°-РHCA, откуда РNMC = 90° - РHMN = 90°-РHCA = РHAC. Угол ACB в треугольниках ABC и CNM общий, и, следовательно, эти треугольники подобны по двум углам.
7. Задача (9 кл.)
В правильном восьмиугольнике ABCDEFGH точка K - середина стороны EF, а M - середина CD. Найти угол между прямыми AK и GM.
7. Решение.
При повороте восьмиугольника на угол 90° относительно точки пересечения его диагоналей он переходит сам в себя, причем точка K переходит в точку M, а точка A переходит в точку G. Таким образом, после поворота прямая (AK) переходит в прямую (GM), а, значит, до поворота угол был равен 90°.
8. Задача (10 кл.)
В прямоугольном треугольнике ABC (РC = 90°) с катетами 3 и 4 провели высоту CH. В получившиеся треугольники ACH и BCH вписали две окружности, которые касаются CH в точках K и L. Найти длину отрезка KL.
8. Решение.
Пусть |AC| = 4 и
|BC| = 3.
Тогда |BH| = 9/5 и |AH| = 16/5. Обозначим через r1 и
r2 (r1 > r2)
радиусы окружностей, вписанных соответственно в треугольники ACH и
BCH. Нетрудно заметить, что расстояние между точками касания этих
окружностей с высотой [CH] равно разности
r1-r2. Известно, что радиус
окружности, вписанной в прямоугольный треугольник равен разности между
полупериметром этого треугольника и его гипотенузой. Отсюда
r1-r2 = (|BC|+|AH|-|AC|-|BH|)/2 = 0,2.
8. Ответ: |KL| = 0,2.
9. Задача.
На основании равнобедренного треугольника, равном 8, как на хорде, построена окружность, касающаяся боковых сторон треугольника. Найти радиус окружности, если длина высоты, проведенная к основанию треугольника, равна 3.
9. Решение.
Прямая, содержащая высоту равнобедренного треугольника, является и его медианой, следовательно, она является срединным перпендикуляром к хорде, и поэтому проходит через центр окружности. Обозначим исходный треугольник через ABC (AC - основание), через M - середину AC, через O - центр окружности. В прямоугольном треугольнике BOC высота CM является средним пропорциональным проекций катетов на гипотенузу, поэтому |MO| = |MC|2/|BM| = 16/3. Из прямоугольного треугольника OCM по теореме Пифагора получаем, что |OC|2 = |OM|2+|MC|2 = (20/3)2.
9. Ответ: радиус равен 20/3.
10. Задача.
Площадь ромба равна S, а сумма его диагоналей равна m. Найти сторону ромба.
10. Решение.
Обозначим искомую сторону ромба через a, а половины диагоналей через b и c. Тогда S = 2bc и m = 2(b+c). Получаем
10. Ответ: a = (m2/4-S)1/2.
Отрезки AB и CD равны по длине и не параллельны. Найти геометрическое место всех точек M таких, что площадь треугольника AMB равна площади треугольника CMD.
1. Решение.
Пусть O - точка пересечения прямых AB и CD. Обозначим через lпрямую, содержащую биссектрису угла AOC, а через m - прямую, перпендикулярную l и проходящую через точку O (т.е. l и m - прямые, содержащие биссектрисы вертикальных углов, образующихся при пересечении прямых (AB) и (СD)). Искомым геометрическим местом точек будет объединение прямых l и m без точки O. В самом деле, для любой точки M, лежащей на одной из биссектрисс, расстояние от нее до прямых (AB) и (CD) одинаково, следовательно, высоты треугольников AMB и CMD равны, а основания AB и CD равны по условию. Поэтому площади треугольников AMB и AMD равны. Для произвольной точки M, не лежащей ни на одной из биссектрисс площади треугольников AMB и CMDне равны, так как в этом случае у этих треугольников равные основания, но разные высоты. Точка O не принадлежит искомому геометрическому месту точек, так как если точка M совпадает с точкой O, то треугольники не образуются.
2. Задача.
В окружности проведена хорда; и через один из концов хорды проходит касательная к окружности. Вычислить угол, составленный касательной и хордой, если хорда делит окружность в отношении 5:7.
2. Решение.
Пусть O - центр данной окружности и AB - ее хорда. Обозначим через x1/5 угловой величины меньшей из дуг с концами в точках A и B. Тогда величина большей из дуг равна 7x, а так как объединение этих двух дуг есть полная окружность, 5x + 7x = 360°, откуда x = 30°. Следовательно, величина меньшего из углов AOB равна 150°, а тогда из рассмотрения равнобедренного треугольника ABO получаем, что угол BAO равен 15°. Касательная к окружности, проходящая через точку A, перпендикулярна радиусу OA и, следовательно, образует с хордой AB угол 75°.
2. Ответ: Ответ: 75°.
3. Задача.
Стороны данного треугольника имеют длины a = 7, b = 9, c = 15. Возможно ли составить треугольник, сторонами которого являются высоты данного треугольника?
3. Решение.
Пусть ha, hb, hc - высоты данного треугольника, проведенные к сторонам a, b, c соответственно. Тогда a·ha = b·hb = c·hc = 2SD, откуда
| hc = | aha c |
= | 7 15 |
ha; hb = | aha b |
= | 7 9 |
ha. |
| hb+hc = | 56 45 |
ha > ha, |
4. Задача.
Площадь треугольника, один из углов которого равен разности двух других, равна площади квадрата, сторона которого совпадает с одной из сторон этого треугольника. Найти углы данного треугольника.
4. Решение.
Пусть a, b, g - углы данного треугольника и пусть a = b-g. Поскольку a+b+g = p, получаем g-b+b+g = p, откуда g = p/2, т.е. данный треугольник является прямоугольным.
Обозначим через a, b, c - длины сторон,
противолежащих углам a, b, g соответственно. Тогда
SD = ab/2. По условию,
выполняется одно из трех равенств: SD = a2, или SD = b2, или SD = c2. Однако
SD = ab/2 <
cc/2 < c2, поэтому SD = a2 или SD = b2. Пусть, для
определенности SD =
a2. Отсюда a2 = ab/2, т.е.
b = 2a. Кроме того,
a2+b2 = c2, поэтому
5a2 = c2, т.е. a = c/
Ц5, b = 2c/ Ц5, отсюда sina =
a/c = 1/ Ц5, sinb = b/c = 2/ Ц5.
4. Ответ:
| a = arcsin | 1 Ц5 |
, b = arcsin | 2 Ц5 |
, g = p/2. |
5. Задача.
Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 6 и 8, а медиана, заключенная между ними, равна 5.
5. Решение.
Пусть M - середина стороны BC треугольника ABC и
|AB| = 6, |AC| = 8 и |AM| = 5. Достроим данный
треугольник до параллелограмма ABDC (см.рис.). Из
равенства треугольников AMC и BMD получаем
SABC = SABD. Треугольник
ABD прямоугольный, покольку 62+82 =
102. Отсюда искомая площадь равна 24. Ответ:
SABC = 24.6. Задача (9 кл.)
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота CH. Из точки H опущены перпендикуляры HM и HN на стороны BC и AC соответственно. Доказать, что треугольники ABC и CNM подобны.
6. Решение.
Построим окружность на отрезке CH как на диаметре. Точки M и N окажутся лежащими на этой окружности как вершины прямых углов, опирающихся на диаметр. Тогда РACH = РHMN как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Поскольку DACH прямоугольный, имеем РHAC = 90°-РHCA, откуда РNMC = 90° - РHMN = 90°-РHCA = РHAC. Угол ACB в треугольниках ABC и CNM общий, и, следовательно, эти треугольники подобны по двум углам.
7. Задача (9 кл.)
В правильном восьмиугольнике ABCDEFGH точка K - середина стороны EF, а M - середина CD. Найти угол между прямыми AK и GM.
7. Решение.
При повороте восьмиугольника на угол 90° относительно точки пересечения его диагоналей он переходит сам в себя, причем точка K переходит в точку M, а точка A переходит в точку G. Таким образом, после поворота прямая (AK) переходит в прямую (GM), а, значит, до поворота угол был равен 90°.
8. Задача (10 кл.)
В прямоугольном треугольнике ABC (РC = 90°) с катетами 3 и 4 провели высоту CH. В получившиеся треугольники ACH и BCH вписали две окружности, которые касаются CH в точках K и L. Найти длину отрезка KL.
8. Решение.
Пусть |AC| = 4 и
|BC| = 3.
Тогда |BH| = 9/5 и |AH| = 16/5. Обозначим через r1 и
r2 (r1 > r2)
радиусы окружностей, вписанных соответственно в треугольники ACH и
BCH. Нетрудно заметить, что расстояние между точками касания этих
окружностей с высотой [CH] равно разности
r1-r2. Известно, что радиус
окружности, вписанной в прямоугольный треугольник равен разности между
полупериметром этого треугольника и его гипотенузой. Отсюда
r1-r2 = (|BC|+|AH|-|AC|-|BH|)/2 = 0,2.
8. Ответ: |KL| = 0,2.
9. Задача.
На основании равнобедренного треугольника, равном 8, как на хорде, построена окружность, касающаяся боковых сторон треугольника. Найти радиус окружности, если длина высоты, проведенная к основанию треугольника, равна 3.
9. Решение.
Прямая, содержащая высоту равнобедренного треугольника, является и его медианой, следовательно, она является срединным перпендикуляром к хорде, и поэтому проходит через центр окружности. Обозначим исходный треугольник через ABC (AC - основание), через M - середину AC, через O - центр окружности. В прямоугольном треугольнике BOC высота CM является средним пропорциональным проекций катетов на гипотенузу, поэтому |MO| = |MC|2/|BM| = 16/3. Из прямоугольного треугольника OCM по теореме Пифагора получаем, что |OC|2 = |OM|2+|MC|2 = (20/3)2.
9. Ответ: радиус равен 20/3.
10. Задача.
Площадь ромба равна S, а сумма его диагоналей равна m. Найти сторону ромба.
10. Решение.
Обозначим искомую сторону ромба через a, а половины диагоналей через b и c. Тогда S = 2bc и m = 2(b+c). Получаем
| a2 = b2+c2 = (b+c)2-2bc = | m2 4 |
-S. |
10. Ответ: a = (m2/4-S)1/2.
